気体の分子運動論 (kinetic theory of gas)

質点で近似できる分子がランダムに飛び回っているときの圧力を計算し，理想気体の状態方程式と比較することにより，分子の平均エネルギーと温度との関係を導く。

ここでは重力の影響は無視するが，この結果を用いて計算すると，分子の速度は十分に速く，直線運動をすると考えてよいことがわかり，この近似は正当化できる。

分子の数密度をとする。 （すなわち，全体積が，全分子数がであれば， ）
また，分子の速さが にある分子数密度を とする。定義より，
　　　　　
が成り立つ。

右図のように，平面で近似できる小さな面積 に，傾き ，方位角 ，速さ で衝突する分子を考える。

分子の質量を とすると，この分子1個が面に弾性衝突をしたときの力積は，である。

時間 の間に衝突する分子数は，体積 中にあり，かつ上記の条件を満たす分子数になる。
分子の運動方向が等方的であるので，傾き ，方位角 を持つ分子の割合は である。速さの条件も加えると，条件をすべて満たして時間 の間に面積 に衝突する分子数は，
　　　　　
となる。したがって，これらの分子の衝突による力積は
　　　　　
となる。

これを， で積分すると時間 の間の力積が得られ，それを で割ると面積 に加わる平均の力が得られる。それを，さらに で割ると圧力 が得られる。すなわち，
　　　　　
である。ここの， の積分は，
　　　　　
である。また， の積分は， の平均値 を使って書けば，
　　　　　
が得られる。

これを，理想気体の状態方程式
　　　　　　すなわち， 　　（， ）
と比較すれば，
　　　　　
であることがわかる。

1分子の平均エネルギーが であるので，エネルギー密度 は，
　　　　　，
内部エネルギー は，
　　　　　
となる。

なお，エネルギー密度 を使うと，理想気体の状態方程式は，
　　　　　
とも書ける。

理想気体の状態方程式が，ここで扱った模型で説明できることから，理想気体とは気体分子が構造を持たない質点であると近似した場合に相当することがわかる。
現実の気体では，不活性ガス（He, Ne などの単原子分子の気体）が理想気体に近い。