フラウンホーファ回折の計算例

フラウンホーファ(Fraunhofer)回折とは，入射光も回折光も平行光線であるとした近似計算である。
これは，光源もスクリーンも無限遠にあるという近似に相当する。
ここでは，スリットなどの開口部がある平面に対して垂直に一定波長 の光が入射する場合を考える。

正弦波の変位は，複素数で，

と書くことができる。ここで， は振幅， は伝播数（波数）， は角振動数である。

実際には要素波は球面波であるから，

となる。

例えば，スリットの中心 から 方向に出た要素波と， 中心から の位置から 方向に出た要素波の 図の点 における変位は， とすると次のようになる。

点での 時刻 における変位
　　

点での変位
　　

各 から出た これらの要素波の変位を足し上げることにより， 方向の変位が得られる。 このとき，時間依存部分は共通で， 周期的変化をしているだけだから， 方向の強度には関係が無い。そこで，強度を求めるためには， を について積分すればよいことがわかる。

一般に，基準点から だけずれた点からの要素波の光路が，基準点からの要素波の光路より だけ長くなるときには，

を求めるとよい。すると， 方向の強度 は，

で与えられる。

単スリット

幅 のスリットから出る 方向の回折光の は，以下のように計算できる。

したがって，強度は，

となる。右辺は， で極大値 1 をとり， で 0 になる。

回折格子

幅 のスリットが， 間隔 で等間隔に 個並んでいる場合， 方向の回折光の は以下のように計算できる。

したがって，強度は，

となる。

前の因子は，単スリットの場合の強度に等しい。
後ろの因子は，分母・分子が 0 となる のときに主な極大になり， その値は である。
また分母が 0 でなく，分子が 0 である点で 0 になる。

円形開口

半径 の円形の穴に， 波長 の光が入射する場合の回折を考える。

開口部の平面座標を とし，中心をその原点とする。 対称性より回折光が 方向に傾いている場合のみを考えれば十分であるから， 方向の回折光の振幅は，

で与えられる。
この積分は，原点中心の半径 の円内で行うので， の積分は という範囲になる。まず，この積分を行い，

とした後に，， という変数変換を行うと，

となる。ところで，1次のBessel関数は，

という積分表示で定義されるので，上記の振幅は，

，

したがって，強度は，

となる。 であるので， での強度を とすると，

と書くことができる。