波動方程式の初期値問題

１次元の波動方程式 の一般解は，

・・・・・　(1)

であるが，ここでは特定の初期条件を満たす解を考える。

初期条件として， における各点の変位と速度が，

，	・・・・・　(2a)
	・・・・・　(2b)

のように与えられているとする。

速度は，式(1) より であるから，(2a), (2b) は以下のように書ける。

，	・・・・・　(3a)
	・・・・・　(3b)

式(3b) の両辺をで積分すると，

・・・・・　(4)

を得る。ここで， は任意の定数である。

式(3a) と (4) から，

，	・・・・・　(5a)
	・・・・・　(5b)

であることがわかる。
したがって，初期条件 (2a) (2b) を満たす解は，次式で表される。

・・・・・　(6)

この式は，ダランベール（d'Alembert）の解，またはストークス(Stokes) の公式と呼ばれることがある。

現実の状況では，無限に続く媒体を考えることはほとんど無く，有限区間の媒体を扱うのが普通である。
そのときは， や も有限区間での値だけが定義されている。
ところが，(6)式では， や が定義されていない場所での値も必要になる。
このような場合，媒体が無い部分の関数値は，境界条件を使うと決めることができる。

例１　初速度が0，つまり の場合は，

・・・・・　(7)

となり，変位の時間変化は，下図のようにグラフから容易に求めることができる。

例２　初期変位が0，すなわち で， が簡単な形の場合も，

・・・・・　(8)

であるから，グラフから変位を求めることができる。