円錐曲線 (conic curve, conic section)

楕円・放物線・双曲線をまとめて円錐曲線という。
その定義はさまざまな方法ででき，また，おもしろい性質を多く持っている。

円錐曲線は，物理学においてもしばしば登場するので主な性質は把握しておいてもらいたい。

円錐曲線と呼ばれる理由

円錐を平面で切ったときの断面が楕円・放物線・双曲線になる。

楕円	放物線	双曲線

特に，円錐の底面に平行な平面で切ると円になる。	円錐の母線に平行な平面で切る。	特に，円錐の頂点を含む平面で切ると２直線になるが，これは円錐曲線に含めないのが普通。

楕円の面積　　

長半径，短半径の楕円は，半径の円を倍に縮めたものだから，
その面積は　　になる。

楕円	放物線	双曲線

楕円上の任意の点について，　が成り立つ。	放物線上の任意の点について，　が成り立つ。ただし，は点から準線に下ろした垂線の足。	双曲線上の任意の点について，　が成り立つ。

問　これらをデカルト座標の方程式を使って証明せよ。

円錐曲線は焦点と準線を使って，次のようにも定義できる。
任意の点をとし，から準線に下ろした垂線の足をとするとき，線分との長さの比
　　　　　
が一定である点の軌跡が円錐曲線である。

この比を離心率といい，
　　　　　のときは，楕円
　　　　　のときは，放物線
　　　　　のときは，双曲線
になる。

焦点を原点とする極座標における曲線の方程式は以下のようになる。図から，であるから，
　　　　　

楕円の離心率は，焦点が中心からどれくらいの割合ずれているかを表す。
デカルト座標の方程式がの楕円なら，となる。
特に，円の場合はとなる。（円の準線は無限の彼方にとる。）

問　各円錐曲線について，デカルト座標の方程式と極座標における方程式の関係を確認せよ。

楕円	放物線	双曲線

一方の焦点から出た光線は，反射後もう一方の焦点に向かって進む。	軸に平行に入射した光線は，反射後焦点に向かう。（焦点から出た光線は，反射後軸に平行に出て行く。）	一方の焦点から出た光線は，反射後もう一方の焦点から出たかのように進む。
（外側から）一方の焦点に向かって来た光線は，反射後もう一方の焦点から出たかのように進む。	（外側から）焦点に向かって来た光線は，反射後軸に平行に進む。	（外側から）一方の焦点に向かって来た光線は，反射後もう一方の焦点に向かって進む。