に対する1次元の熱伝導方程式ここでは，温度に対する1次元の熱伝導方程式
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(1) |
をフーリエ級数を使って解く方法を示す。
は温度拡散係数
である。
具体的な対応物としては，側面からは熱の出入りがない長さ
の棒や，x方向にしか熱の移動がない厚さがの板を考えればよい。
熱伝導方程式は偏微分方程式であるので，具体的な解を得るには，初期条件と境界条件を定めなくてはならない。
初期条件
初期条件として，時刻
における各位置の温度が具体的に与えられているとする。
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(2) |
境界条件
境界条件とは，
および
における条件のことであり，ここでは次に示す簡単な２つの場合を考える。
(B1) 両端が一定温度に保たれている場合（等温境界条件）
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(3) |
※両端の温度が異なる場合は，このページの最後を参照。
(B2) 両端で熱の出入りがない場合（断熱境界条件）
熱の移動がないときは，温度の勾配
が0になるので，両端で次式が成り立つ。
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(4) |
変数分離
と置いて(1)に代入してみと，
より，
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(5) |
となる。この式の左辺は
のみの関数，右辺は
のみの関数であるから，この式が成立するのは両辺とも定数の場合しかない。この定数を
とすると，(5)式は次の２つの式に分解できる。
 ， |
(6) |
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(7) |
これらの常微分方程式の一般解は，
 ， |
(8) |
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(9) |
となる。
一般解
まず境界条件(B1)の場合を考える。(9)と(3)より，
，
， すなわち，
（
）
となる。そこで，許される
の値を，
 ， |
(10) |
と書くと，各
に対して
，
も決まり，
 ， |
(11) |
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(12) |
となる。その結果，
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(13) |
が解であることがわかるが，元の方程式(1)が線形であることから，異なるに対する解の和も解になる。
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(14) |
これが，境界条件(3)を付けたときの方程式(1)の一般解になる。
大きいの項はすぐに減衰するので，少し時間が経過すると温度分布は単純なsin曲線に近づくことがわかる。
一般解(14)の中の定数
は，初期条件(2)で具体的に決まる。(2)と(14)より，
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(15) |
となるが，これは
のフーリエ正弦級数である。すなわち，を奇関数
としたときの，区間
におけるフーリエ級数であり，その係数は次式で与えられる。
 ， |
(16) |
境界条件(B2)の場合も同様に一般解を求めることができる。
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(17) |
であるから，これを(4)に代入して，
，
， すなわち， （
）
であることがわかる。が満たす式は同じであるが，今度はが0の場合も含まれる。
| ， |
(18) |
したがって，一般解は次式になる。
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(18) |
初期条件(2)を使うと，係数
を決めることができる。
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(19) |
(19)はのフーリエ余弦級数であり，その係数は次式で与えられる。
 （ ）， |
(20a) |
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(20b) |
両端が一定温度に保たれているが，例えば，
 ，  |
(21) |
のように，両端の温度が異なる場合を考える。
十分時間が経過して（
）定常状態になった場合，すなわち温度の時間変化が無くなった場合は，
より，
となる。最終的な温度分布を
とすると，
より，
はの1次式になる。特に，(21)の場合は，
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(22) |
となる。これは，熱伝導方程式(1)から導ける一般的な結論であり，十分時間が経過すると，温度分布は直線状になる。
※途中で，放熱や吸熱がある場合はそうはならない。このときは(1)式自体が成立しない。
そこで，
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(23) |
とおくと，
は熱伝導方程式(1)を満たし，その境界条件は，
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(24) |
となるので，の一般解は上と全く同様に解ける。
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(25) |
また，初期条件(2)より，
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(26) |
であるから，係数は次式で与えられる。
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(27) |
結局，両端が異なる温度に保たれているときは，まず最終温度を求めておけば，
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(28) |
により解が求められる。