問7のこたえ

問7　ロープの運動 長さ，質量 の一様な糸を滑らかな水平の針にかけて滑り落とす場合に，一方の糸の長さが になったとき，他方の下端から距離 の点の張力はいくらか。

求める位置での糸の張力を，糸の加速度を とする。
（）

上端では，摩擦がなく，針にかかっている部分の糸の長さが無視できるので，両側の張力は等しいとしてよい。この上端での張力を とする。

の３つの未知数があるが，糸の３つの部分（長さが の部分）に対する運動方程式を書けば解けることになる。

質量の式を簡単にするため，糸の線密度 を使うと，運動方程式は以下のようになる。

ここで重力加速度を としてある。()

これより，

　　　　　，

が得られ，求める張力は，

となる。(ここで，)

この問いのように長さや質量の変数を単位を持たない数値とすると，その後の各段階で単位を考えながら式を作らねばならず，少々面倒になる。

ここでは，針の直径は無視できるほど小さいとしているが，有限の大きさの場合は，速度が大きくなると糸が針から離れる（浮き上がる）可能性もあるだろう。