斜面を転がる球・円柱・円環

質量 の物体が受ける力は，
　　　重力　と　斜面からの抗力（垂直抗力 と摩擦力）
の2つであるが，それぞれを斜面に平行な向きと斜面に垂直な向きに分けて考える。

斜面に垂直な力は，重力の と斜面から受ける垂直抗力 であるが，物体が斜面に沿って運動するので，これらはつりあっている。

斜面に平行な力は，重力の と摩擦力 であり，斜面下向きを正にとり，この向きの重心運動と，重心の周りの回転を考える。
物体の半径を，慣性モーメントを，回転角速度を とすると，運動方程式は以下のようになる。

斜面下向きの重心の運動		(1)
重心の周りの回転		(2)

したがって

(3)

(1)(3)より， となり，さらに(2)を使って を消去すれば，
　　　　　
これより，角加速度 および加速度 は，

，

(4)

等加速度運動であるから，初速度を，初期位置を とすれば，時刻 の速度と位置は，， となる。

ちなみに摩擦力 は，(2)(4)より， 　となり，これも一定である。

さて，球・円柱・円管の慣性モーメント は，それぞれ，
　　　球　 ，　　円柱　 ，　　球殻　，　　円管　
であるから，物体の加速度は，
　　　球　 ，　　円柱　，　　球殻　，　　円管　
となり，この順に小さくなっていく。しかし，同じ形状であれば，半径や質量には依存しない。なお， は，物体が回転せず，摩擦なしで滑り落ちるときの加速度である。

問　上記の物体と斜面の静止摩擦係数を とするとき，物体が滑らずに転がることができる斜面の最大角を求めよ。また，この角度は，球，円柱，円管のいずれで最も大きくなるか。（どれが一番滑りにくいか。）

（こたえ）　物体と斜面間の垂直抗力は であるから，静止摩擦力 は を満たす。 これより，滑らずに転がるための条件は， となる。これより，静止摩擦係数が同じであるとすると，
　・同じ形状であれば，滑らない斜面の最大角は，質量や慣性モーメントにはよらないこと，
　・同じ半径であれば，慣性モーメントが小さい方が斜面の最大角は大きくなる（滑りにくい）こと
がわかる。

位置エネルギーと運動エネルギーの関係

物体の高さが だけ下がったときを考えると，その落下時間 は， で決まるので，
　　　重心の運動エネルギーの増加　　，
　　　回転の運動エネルギーの増加　　
となる。したがって，全運動エネルギーの増加は，
　　　　　
となり，重力がした仕事に等しい。

物体が滑らずに転がるときは，摩擦力はいつも静止した点に働くので仕事をしない。そのため，斜面を滑らずに転がる剛体については，力学的エネルギーが保存する。（ただし，このときの運動エネルギーには，回転の運動エネルギーも含めなくてはならない。）

※斜面が鉛直面内で曲線を描いているときも，斜面の微小部分を考え，上の や を微小量 や に置き換えると，
　　　　　
が示せるので，曲線状の斜面でも（滑らない場合は）力学的エネルギーが保存する。

※現実の物体では変形に伴い熱が発生し，その分は力学的なエネルギーが減少する。通常，この効果を「転がり摩擦」と称する。

逆に，物体が斜面上を滑りながら転がるときは，摩擦力が負の仕事をするので，力学的エネルギーは減少していく。

（参照）斜面の実験

（参考）固体と液体

ジュースの空き缶に水を入れて凍らせたものと，中が液体のままのジュースの缶を斜面で転がすと，どちらが速く転がるだろうか？
ジュースの缶の代わりに，ゆで卵と生卵を転がしてもよい。

内部が液体の場合は，固体とは異なり，内部が完全には回転しない。そのため，内部が液体である物体の慣性モーメントは，すべてが固体である場合に比べて小さくなる。慣性モーメント が小さいと，斜面を下る加速度は大きくなる。

液体が入った缶
Jackson K A et al, Viscous and non-viscous models of partially filled rolling can, Am.J.Phys. 64, 277-82