ばねの自由落下

ばね全体を，特定の変位を与えた後，自由落下させる場合を考える。

波動方程式は，先に示したように，
　　　　　　　　　　　（ただし， ）
となる。

境界条件は，両端ともに自由端であるから，
　　　　　
である。

初期条件として，最初静止していた場合を考え，
　　　　　，　
とする。

このときは，
　　　　　
とおけば，これは通常の波動方程式を満たし，境界条件，初期条件も上と同じ形になる。すなわち，
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　，　
となる。

この解は，
　　　　　
を，周期の偶関数に拡張し，それを使って，
　　　　　
で与えられる。

本来の変位で書きなおすと，
　　　　　
となる。

※この変位 を，使うとばねの という点の時刻 における位置は， になる。